Анатолий Квашнин родился 15 августа 1946 в семье военнослужащего в Уфе.
В 1964 году поступил на автотракторный факультет Курганского машиностроительного института.
В 1976 году Квашнин окончил Военную академию бронетанковых войск имени Маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского с отличием, а в 1989 — также с отличием — Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил СССР.
С августа 1992 года — заместитель, а с февраля 1993 года — первый заместитель начальника Главного оперативного управления Генерального штаба Вооружённых сил РФ.
С 20 декабря 1994 года по 31 января 1995 — командующий Объединённой группировкой российских войск в Чеченской республике.
С февраля 1995 — командующий войсками Северо-Кавказского военного округа.
С 19 июня 1997 — начальник Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации — первый заместитель министра обороны Российской Федерации.
19 июля 2004 года был освобождён от должности начальника Генерального штаба и зачислен в распоряжение Министра обороны Российской Федерации. С сентябре 2004 года уволен в запас.
